Александр Багапов родился 14 июля 1960 года в Краснодаре.
Александр Багапов свое занятие футболом начал еще в Нальчике, где в 1966-68 гг. играл его знаменитый отец Хамза Багапов. Первым тренером был Григорий Ватьян. Потом свое образование повышал в Ейске и Черкассах. В 1972 году Александр пошел в школу группы подготовки – СДЮСШОР-«Урожай», где тренировался под руководством Юрия Агеева, а также своего отца, знаменитого Хамзы Багапова. Отец был для него, конечно же, главным тренером в жизни. Именно он занимался с сыном с самого начала.
Уже в 15 лет Саша выступал за юношеские сборные РСФСР, а затем в 1976 году получил приглашение в сборную СССР своего возраста. Дебют Багапова-младшего в «Кубани» состоялся уже в 1977 году. В 1979 году Багапов поиграл и во Второй, и в Высшей лиге, набрался опыта и уже в год дебюта команды в элитном классе советского футбола, он вновь в родном городе. Молодой игрок в свои 20 лет выступал достойно и получал приглашения именитых клубов, но остался в «Кубани».
В карьере Александра Хамзаевича был яркий период выступления за одесский «Черноморец», где наш юбиляр и стал игроком одной и самых интересных команд Высшей лиги. Играли тогда «моряки» ярко, результативно и абсолютно не признавали авторитетов. Обыграв по результатам двух игр немцев, одесситы в первом матче с «Реалом» играли в Мадриде. Именно в этой игре Александр смог забить свой знаменитый гол-красавец именитому европейскому клубу. И хотя «Реал» выиграл 2:1, но моряки показали высокий класс игры, а испанцы запомнили мяч, забитый с 35 метров нашим игроком. Гол «Реалу» в момент сделал его самым известным игроком СССР. Простой краснодарский парень поразил ворота одной из самых титулованных команд мира в Мадриде!
В 1987 году Александр Багапов практически перешел в клуб «Нефтчи» Баку (город, где родился отец). Но тут его пригласил в родной клуб сам отец, как главный тренер, возглавивший «Кубань». И он не просто вернулся, а стал ведущим игроком клуба, чемпионом РСФСР. Александр Багапов выступал в большом футболе до 1994 года. В его карьере были еще белореченский «Химик», краснодарский «Колос»…
В послужном списке Багапова есть периоды тренерской работы с детьми и работа на матчах в качестве судьи краевого, а затем и национального первенства страны.
В его карьере было много знаковых игр, событий и побед. Ныне Александр Багапов тренирует еще и ветеранскую команду «Кубань», продолжая семейные традиции и мечтая стать вновь чемпионом страны среди старших возрастов.