Андрей Сосницкий родился в городе Советск 2 ноября 1962 года.
Профессиональную карьеру начал в «Балтике», после чего перебрался в Белоруссию, где в составе двух «Динамо» — минского и брестского провел большую часть своей карьеры. Выступал на позиции защитника. В составе клуба из Бреста суммарно отыграл более двухсот матчей, в которых отметился 37 голами.
В период с 1994 по 1995 годы провел четыре матча за национальную сборную Белоруссии.
В период российского этапа игровой карьеры Сосницкий выступал за владикавказский «Спартак», «Уралмаш» из Екатеринбурга и новороссийский «Черноморец». Всего в высшем дивизионе нашей страны провел 48 матчей.
Последним клубом футболиста Сосницкого стала мозырская «Славия».
Именно в Мозыре в 1999 году и началась тренерская карьера Андрея Алексеевича. Сначала в качестве помощника, а чуть позже уже и в роли главного тренера.
Но первым местом работы главного тренера Сосницкого стало брестское «Динамо» с апреля 2002 по сентябрь 2003 года. А после полутора сезонов в «Славии», специалист снова вернулся в Брест, где проработал еще два с половиной года.
В 2008-м году Сосницкий вошел в тренерский штаб Леонида Кучука в тираспольском «Шерифе». В дальнейшем в тандеме именно с этим специалистом Андрей Алексеевич проработает значительную часть своей тренерской карьеры.
После ухода Кучука из «Шерифа», Сосницкий еще на полтора года в Тирасполе задержался и привел команду к золотому «дублю» — победе в чемпионате и Кубке страны. Не менее здорово команда под его руководством выступала и еврокубках. В сезоне 2010/11 гг. в квалификации Лиги чемпионов молдавский клуб поочередно прошел киевское и загребское «Динамо», но в финальной стадии отбора оступился на крепком швейцарском «Базеле». Однако путевка в групповой этап Лиги Европы уже была оформлена. На групповом этапе «Шериф» вновь столкнулся с динамовцами из Киева и вновь не проиграл более именитому сопернику, победив дома 1:0 и сыграв на выезде вничью 0:0. К этим очкам команда Сосницкого добавила ничью с «АЗ» из Нидерландов, но для выхода из группы пяти баллов было недостаточно. Достигнутый результат для скромного тогда «Шерифа» был признан максимально успешным, в чем, безусловно, немалая заслуга именно Андрея Алексеевича.
Далее, после полутора лет работы в киевском «Арсенале», тренерский тандем Кучука и Сосницкого перебрался в Россию. В 2013 году специалисты полгода успешно отработали в «Кубани», после чего перешли в московский «Локомотив». Второе возвращение на кубанскую землю состоялось уже в ноябре 2014 года. В чемпионате «Кубань» заняла лишь десятую строчку, но в Кубке России дошла до финала, где уступила «Локомотиву» (1:3). После этого поражения Кучук подал в отставку, и Сосницкий два последних матча сезона провел в роли исполняющего обязанности главного тренера «желто-зеленых». Победа над тульским «Арсеналом» (5:1) до сих пор памятна многим кубанским болельщикам.
С 2016 по 2020 годы Андрей Алексеевич работал в «Армавире», в 2021 году вернулся в Белоруссию в «Витебск», также в карьере тренера в этом периоде были подмосковные «Химки».
с Января по Май 2023 года был главным тренером ПФК «КУбань». также возвращался в стан жёлто-зелёных в 2025 году, находясь на посту главного тренера с марта по июнь.